Menu

Toán Đề thi học sinh giỏi quốc gia năm 2012

Discussion in 'Đề thi HSG' started by mtdd_tt, Jan 11, 2012.

Share This Page

  1. mtdd_tt

    mtdd_tt Tiểu phù thủy

    • Messages: 524
    • Likes Received: 0
    KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT NĂM 2012
    -------- Ngày 1-------------





    Bài 1 (5 điểm). Cho dãy số thực [TEX](x_n)[/TEX] xác định bởi
    [TEX]x_1=3[/TEX] và [tex]x_n=\frac{n+2}{3n}(x_{n-1}+2)[/tex] với mọi [TEX]n \ge 2[/TEX].​



    Chứng minh rằng dãy số đã cho có giới hạn hữu hạn khi [TEX]n \to +\infty[/TEX]. Tìm giới hạn đó.


    Bài 2 (5 điểm). Cho các cấp số cộng [TEX](a_n), (b_n[/TEX]) và cho số nguyên [TEX]n \ge 2[/TEX]. Xét [TEX]m[/TEX] tam thức bậc hai: [TEX]P_k(x)=x^2+a_kx+b_k, k=1,2,...,m[/TEX]. Chứng minh rằng nếu hai tam thức [TEX]P_1(x)[/TEX] và [TEX]P_m(x)[/TEX] đều không có nghiệm thực thì tất cả các tam thức còn lại cũng không có nghiệm thực.


    Bài 3 (5 điểm). Trong mặt phẳng, cho tứ giác lồi [TEX]ABCD[/TEX] nội tiếp đường tròn tâm O và có các cặp cạnh đối không song song. Gọi M,N tương ứng là giao điểm của các đường thẳng AB và CD, AD và BC. Gọi P, Q, S, T tương ứng là giao điểm các đường phân giác trong của các cặp góc MAN và MBN, MBN và MCN, MCN và MDN, MDN và MAN. Giả sử bốn điểm P, Q, S, T đôi một phân biệt.
    1) Chứng minh rằng bốn điểm P, Q, S, T cùng nằm trên một đường tròn. Gọi I là tâm của đường tròn đó.
    2) Gọi E là giao điểm của các đường chéo AC và BD. Chứng minh rằng ba điểm E, O, I thẳng hàng.


    Bài 4 (5 điểm). Cho số nguyên dương [TEX]n[/TEX]. Có [TEX]n[/TEX] học sinh nam và [TEX]n[/TEX] học sinh nữ xếp thành một hàng ngang, theo thứ tự tùy ý. Mỗi học sinh (trong số [TEX]2n[/TEX] học sinh vừa nêu) được cho một số kẹo bằng đúng số cách chọn ra hai học sinh khác giới với X và đứng ở hai phía của [TEX]X[/TEX]. Chứng minh rằng tổng số kẹo mà tất cả [TEX]2n[/TEX] học sinh nhận được không vượt quá [TEX]\frac{1}{3}n(n^2-1)[/TEX].

    Nguồn Mathscope do nhox12764 post.
     
  2. LoveMath

    LoveMath New Member

    • Messages: 105
    • Likes Received: 0
    Mấy bạn trường mình làm ăn thế nào nhỉ. có khả quan không